Острова устойчивости в области переходов через сепаратрису в гамильтоновых системах с быстрыми и медленными движениями

Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2007, т. 259, с. 243–255.
Рассматривается гамильтонова система с двумя степенями свободы, одна из которых соответствует быстрому движению, а другая — медленному. Отношение характерных скоростей изменения медленных и быстрых переменных является малым параметром ε задачи. Предполагается, что при замороженных значениях медленных переменных на фазовой плоскости быстрых переменных имеется сепаратриса. В фазовом пространстве есть область (область переходов через сепаратрису) такая, что проекции фазовых точек этой области на плоскость быстрых переменных в ходе изменения медленных переменных многократно пересекают сепаратрису. При выполнении определенного условия симметрии показано, что в области переходов через сепаратрису на каждом уровне энергии есть много (порядка 1/ε) устойчивых периодических траекторий системы. Каждая из этих траекторий окружена островом устойчивости, мера которого оценивается снизу величиной порядка ε, так что суммарная мера островов устойчивости оценивается снизу величиной, не зависящей от ε. Доказательство основано на исследовании асимптотических формул для соответствующего отображения последования Пуанкаре.